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极坐标形式的二次积分

①先根据给出的二次积分找到积分区域D,②再根据直角坐标下D的边界曲线的方程 并结合D的图形确定D的边界线的极坐标方程,这其中有公式【x=rcost,y=rsint,xx+yy=rr】 ③然后定限,计算.

解:设x=rcosθ,y=rsinθ.∵由题设条件,有0≤x≤1,0≤y≤1,∴D关于y=x对称.∴D={(θ,r)丨0≤θ≤π/4,0≤r≤1/cosθ}∪{(θ,r)丨π/4≤θ≤π/2,0≤r≤1/sinθ}.∴原式=∫(0,π/4)dθ∫(0,1/cosθ)f(rcosθ,rsinθ)rdr+∫(π/4,π/2)dθ∫(0,1/sinθ)f(rcosθ,rsinθ)rdr.供参考.

积分区域是半圆,化成极坐标为:r=2acosθ,(0≤θ≤π)原式=∫[0,π/2]dθ ∫[0,2acosθ ] (r^2*r)dr=∫[0,π/2]dθ [0,2acosθ [ r^4/4=(1/4)∫[0,π/2]dθ [0,2acosθ ] (cosθ )^4=(16a^4/4)∫[0,π/2]dθ [1+cos2θ)^2/4=a^4∫[0,π/2]dθ [1+2cos2θ+(cos2θ)^2]=a^4[θ+sin2θ+θ/2+(sin4θ)/8][0,π/2]=a^4(3/2*π/2+0+0)=3πa^4/4.

懒得画图了,自己对照我写的吧.1.y 边界为 x^2+y^2=1 是单位圆.1-x 边界为 x+y=1是一条直线.画图就可发现,积分区域其实是单位圆内,直线x+y=1以上的部分,对应于幅角从0-90度,而半径介于单位圆和直线x+y=1之间.单位圆很简单,对应极坐标就是 r=1,1-x 1-r cos a r> 1/(sin a + cos a)所以 ∫dx∫f(x,y)dy (0

根据给出的二次积分,可得,积分区域D是由圆xx+yy=aa在第一象限的部分与两个坐标轴围成的.用极坐标表示D为0《t《π/2,0《r《a.故原式=∫〔0到π/2〕dt∫〔0到a〕f(rcost,rsint)*rdr为所求.

∫[0,1]dx∫[0,1] f(x,y) dy=∫∫ f(x,y) dxdy 积分区域为矩形:0≤x≤1,0≤y≤1作y=x将矩形分为两部分分别来做,x=1对应的极坐标方程为:rcosθ=1,即r=1/cosθy=1对应的极坐标方程为:rsinθ=1,即r=1/sinθ原式=∫∫ f(rcosθ,rsinθ)r drdθ=∫ [0→π/4] dθ∫[0→1/cosθ] f(rcosθ,rsinθ)r dr+∫ [π/4→π/2] dθ∫[0→1/sinθ] f(rcosθ,rsinθ)r dr

积分区间为正方形 以正方形的对角线为边界 将积分区间分为2个 分别化为极坐标 过程如下图:

变量和被积函数部分是套公式,极坐标积分顺序变化不多,一般总是先积r,后积θ.主要是积分区域,原积分区域是矩形,化为极坐标后,要分为曲边扇形:沿θ=π/4(y=x)把矩形分为两部分:,一部分:0≤θ≤π/4,0≤r≤secθ,(x=1的极坐标方程r=1/cosθ)另一部分:π/4≤θ≤π/2,0≤r≤cscθ,(y=1的极坐标方程r=1/sinθ)图片上第二部分关于r的积分上限错了.不是余弦,是余割.

懒得画图了,自己对照我写的吧.1. y<(1-x^2)^1/2 => 边界为 x^2+y^2=1 是单位圆. 1-x<y => 边界为 x+y=1是一条直线. 画图就可发现, 积分区域其实是单位圆内,直线x+y=1以上的部分,对应于幅角从0-90度, 而半径介于单位圆和直线x+y=1

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